Seorang Begawan Fisika, Albert Einstein pernah mempertanyakan tentang teori matematika yang selalu sesuai dan berlaku pada benda-benda di dunia nyata. Padahal, teori tersebut hanya berasal semata-mata dari pikiran manusia.
Sedangkan fisika misalnya, yang harus membuktikan ilmunya melalui serangkaian eksperimen, baru bisa diterima oleh semua orang. Sebenarnya teori matematika juga bisa dibuktikan melalui logika, salah satunya dengan metode induksi matematika ini.
Secara umum, Induksi matematika adalah metode untuk membuktikan suatu sifat yang didefinisikan pada bilangan asli 𝑛 bernilai benar untuk semua nilai 𝑛 yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan asli tertentu.
Dengan induksi matematika, pembuktian yang sangat rumit dalam mencari kebenaran dari suatu pernyataan matematis bisa dilakukan dengan langkah terbatas yang cukup mudah.
Prinsip Induksi Matematika
Apabila 𝑃(𝑛) merupakan sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan asli 𝑛, dan bila 𝑎 merupakan suatu bilangan asli tertentu. Andaikan dua pernyataan berikut bernilai benar, maka:
- 𝑃(𝑎) bernilai benar.
- Untuk sembarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.
Maka pernyataan untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, 𝑃(𝑛) bernilai benar.
Untuk memberikan gambaran ide mengenai induksi matematika, marilah kita umpamakan seperti sederet kartu domino. Maka bisa digunakan dua asumsi, asumsi pertama kartu domino pertama dijatuhkan. Asumsi kedua, bila suatu kartu domino dijatuhkan, maka kartu domino berikutnya juga akan ikut jatuh.
Nah, bila kedua asumsi tersebut benar, maka seluruh kartu domino juga akan jatuh.
 |
| Prinsip induksi matematika pada efek domino |
Mari kita lihat hubungan tersebut melalui prinsip induksi matematika. Baik kita misalkan saja 𝑃(𝑛) adalah kalimat “domino ke-𝑛 akan jatuh”. Ini bisa dinyatakan bahwa jika 𝑃(1) benar (domino pertama jatuh), maka untuk sembarang 𝑘 ≥ 1, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar (domino ke-𝑘 jatuh), maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar (domino ke-(𝑘 + 1) juga jatuh). Maka menurut prinsip induksi matematika, 𝑃(𝑛) yaitu domino ke-𝑛 jatuh, juga bernilai benar untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1.
Pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua langkah, yaitu langkah dasar atau basis step, dan langkah induktif atau inductive step.
Metode pembuktian dengan induksi matematika
Coba cek pernyataan ini, “Untuk sembarang bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, sifat 𝑃(𝑛) bernilai benar.” Pernyataan tersebut bisa dibuktikan dengan dua langkah berikut:
- Langkah dasar (basis step) akan ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑎) bernilai benar.
- Langkah induktif (inductive step) akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan asli 𝑘 ≥ 𝑎, dengan 𝑎 adalah bilangan asli tertentu, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.
Pada proses pembuktian melalui prinsip induksi matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih n = 1, n = 2, atau n = 3, tetapi bisa dipilih sembarang nilai n sedemikian sehingga bisa mempermudah supaya proses langkah awal dipenuhi.
Selanjutnya, jika P(1) benar, maka P(2) benar; jika P(2) benar maka P(3) benar; demikian seterusnya hingga disimpulkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar, maka akan ditunjukkan P(k + 1) benar.
Bila P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka pernyataan matematis P(n) terbukti benar. Namum apabila salah satu dari kedua prinsip tidak bisa dipenuhi, maka pernyataan matematis P(n) menjadi salah. Perhatikan, pada langkah induktif, kita tidak membuktikan bahwa 𝑃(𝑘) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga benar. Pemisalan dari 𝑃(𝑘) benar tersebut dinamakan hipotesis induktif.
Bagaimana, semoga bisa dipahami ya, karena setelah ini akan dipelajari bagaiman penerapan induksi matematika ini.