Jarak Titik ke Titik Dalam Ruang Bidang Datar

Materi ini merupakan Pelajaran Matematika Kelas 12 yang membahas mengenai konsep jarak antara titik dalam ruang. Bagaimana jarak antar titik dalam ruang bisa dideskripsikan, dan juga menjelaskan prosedur bagaimana menentukan jarak titik ke titik, serta menentukan jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar.

Sebelumnya mari kita sama-sama perhatikan masalah bangun berikut ini, yang merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. 

Pada gambar diatas, titik merepresentasikan kota, sedangkan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota.

Ridwan berencana ke kota C, berangkat dari kota A. Tuliskan kemungkinan rute yang ditempuh oleh Ridwan, dan tentukan panjang dari rute-rute tersebut. Rute manakah yang paling pendek? Berapa jarak antara kota A dan C? Untuk menjawab pertanyaan-pertanaan tersebut, mari kita membuat tabel kemungkinan rute yang bisa dilalui Ridwan.

No	Kemungkinan rute dari Kota A ke Kota C	Panjang Lintasan
1	A → C	30
2	A → B → C	21 + 18 = 39
3	A → D → C	20 + 25 = 45
4	A → B → D → C	21 + 22 + 25 = 68
5	A → D → B → C	20 + 22 + 18 = 60

Dari tabel diatas terlihat bahwa rute terpendek dari Kota A ke Kota C adalah rute yang pertama, yaitu A → C sepanjang 30 km.

Jadi, jarak antara kota A dan kota C merupakan panjang lintasan terpendek yang menghubungkan antara kota A dan C, yaitu rute A → C sepanjang 30 km.

Selanjutnya mari kita pecahkan masalah dibawah ini. Ada dua lingkaran seperti gambar dibawah ini. Titik A, B, C, D, dan E berada pada lingkaran L1 sementara titik P, Q, R, S, dan T berada pada lingkaran L2. Pertanyaanyna, ruas garis manakah yang mewakili jarak antara kedua lingkaran tersebut?

Sebelum menjawab pertanyaan di atas perlu diketahui, bahwa dalam geometri jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut. 

Perhatikan ruas garis yang pada dua titik pada lingkaran L1 dan L2, yang manakah ruas garis paling pendek? Apabila CR merupakan ruas garis paling pendek di antara semua ruas garis yang ada pada lingkaran tersebut, maka ruas garis CR disebut  jarak antara lingkaran L1 dan lingkaran L2. 

Dari dua masalah di atas, maka dapat disimpulkan jarak antara dua titik adalah sebagai berikut.

“Jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.”

Contoh 1.

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 20 cm. 

Maka hitunglah jarak antara titik-titik berikut ini.

1. B ke F
2. A ke D
3. G ke H
4. A ke C
5. H ke B
6. G ke titik tengah AB

Jawab: 

1. Jarak titik B ke F diwakili oleh panjang ruas garis atau rusuk BF, yang berjarak 20 cm.
2. Jarak titik A ke D diwakili oleh panjang ruas garis atau rusuk AD, yang berjarak 20 cm.
3. Jarak titik G ke H diwakili oleh panjang ruas garis atau rusuk GH, yang berjarak 20 cm.
4. Jarak titik A ke C diwakili oleh panjang ruas garis AC, dimana ruas garis AC adalah diagonal bidang alas ABCD. 

Melalui gambar diatas bisa diperhatikan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. Berdasarkan Teorema Pythagoras maka akan diperoleh hubungan:

Jadi, jarak titik A ke C adalah 20√2 cm.

5. Jarak dari titik H ke B diwakili oleh panjang dari ruas garis HB. Ruas garis HB adalah  diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.

Pada gambar diatas bisa diperhatikan bahwa segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Ruas garis BD merupakan diagonal bidang alas ABCD, maka BD = AC = 20√2 cm (hasil perhitungan pada bagian d).

Jadi, jarak titik H ke B adalah 20√3 cm.

6. Misalnya saja P merupakan titik tengah AB. Maka jarak titik G ke titik tengah AB diwakili oleh 

panjang dari ruas garis GP seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Melalui gambar di atas, bisa dilihat bahwa segitiga BGP merupakan segitiga siku-siku di B. Ruas garis BG merupakan diagonal bidang alas BCGF, maka BG = 20√2 cm (panjang BG = AC = BD, semuanya merupakan diagonal bidang kubus ABCD.EFGH).

Coba perhatikan segitiga BGP, berdasar Teorema Pythagoras akan diperoleh hubungan:

Maka, jarak titik G ke P titik tengah AB adalah 30 cm.

Contoh 2.

Yusuf memiliki kamar tidur dengan ukuran 3m × 3m × 4m. Tepat berada di tengah plafon kamar Yusuf terpasang lampu. Jika saklar lampu diletakkan tepat berada di tengah salah satu dinding kamar, maka berapakah jarak dari lampu ke saklar?

Jawab:

Kamar Yusuf memiliki ukuran 3m × 3m × 4m, berarti panjang kamar 3 m, lebar 3 m, dan tinggi 4 m. Jarak antara lampu dan saklar bisa diilustrasikan sebagaimana gambar dibawah ini.

Misalnya saja lampu (L), saklar (S) berada di dinding ADHE, dan P merupakan titik tengah dari EH. Maka, jarak antara lampu dan saklar adalah LS.

Coba perhatikan segitiga LPS siku-siku di P, berdasar Teorema Pythagoras maka diperoleh hubungan:

Maka panjang kabel terpendek yang dibutuhkan Yusuf adalah 2,5 meter.

Contoh 3.

Diketahui limas T.ABCD seperti yang terlihat pada gambar dibawah. ABCD adalah persegi dengan panjang rusuk 6 cm. TA = TB = TC = TD = 5 cm dan M adalah titik tengah AC. Hitunglah jarak antara titik T dan titik M.

Jawab:

Perhatikan segitiga ABC, siku-siku berada di B, maka:

Titik M adalah titik tengah AC, sehingga:

Coba perhatikan segitiga CMT, siku-siku berada di M, maka:

Maka, jarak antara titik T dan titik M adalah √7 cm yang merupakan tinggi dari limas T.ABCD.

Demikianlah pembahasan kita mengenai jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar. Menyenangkan bukan? Selamat belajar.