Masih ingat pelajaran fungsi di kelas 8? Ya, fungsi adalah satu jenis relasi yang memiliki syarat, yaitu harus berpasangan antara domain (x) dan kodomain (y). Ada banyak fungsi yang dibuat, salah satunya adalah fungsi kuadrat, artinya relasi yang digunakan adalah relasi kuadrat.
Fungsi kuadrat banyak diaplikasikan dalam ilmu pengetahuan dan teknik. Misalnya, fungsi ini dapat digunakan untuk menghitung jalur peluru, menentukan waktu tumbukan dalam simulasi fisika, atau memodelkan pertumbuhan populasi.
Dalam matematika, fungsi kuadrat dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, mencari akar-akar dari sebuah fungsi, atau menyelesaikan berbagai masalah geometri.
Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi matematika yang dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat yang memiliki bentuk umum f(x) = ax² + bx + c.
Keterangan:
x = variabel
a = koefisian dari x², dimana a tidak boleh sama dengan 0
b = koefisien dari x, sedangkan
c = konstanta
Fungsi kuadrat merupakan jenis fungsi polinomial orde dua, yang membentuk parabola ketika grafiknya digambar di bidang kartesius. Sebelumnya kita pahami dulu persamaan diatas dari beberapa contoh dibawah ini.
Contoh 1
F(x) = 3x²+4x-6
Dimana a = 3, b = 4, c = -6
Contoh 2
F(x) = x²-12x
Dimana a = 1, b = -12, c = 0
Contoh 3
F(x) = -3x²+27
Dimana a = -3, b = 0, c = 27
Contoh 4
Terkadang variabelnya bisa digantikan dengan huruf lain;
y = px²+6x+p-3
Dimana, a = p, b = 6, c = p-3
Contoh 5
h = -5t²+30t+10
Dimana, a = -5, b = 30, c = 10
Aplikasi Fungsi Kuadrat Dalam Kehidupan Sehari-hari
Dalam penerapannya, akan banyak dijumpai istilah nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat, yang bisa dinyatakan dengan kata-kata yang berlainan.
- Kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas dan lain sebagainya, bisa dihubungkan dengan nilai maksimum fungsi kuadrat.
- Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit bisa dihubungkan dengan pengertian nilai minimum fungsi kuadrat.
Dalam menggambar sebuah grafik akan ditemukan istilah titik puncak dan sumbu simetri. Berikut penjelasannya.
Titik Puncak
Mencari titik puncak bisa menggunakan persamaan , D merupakan diskriminan yang bisa dicari menggunakan rumus D = b² - 4ac. Dimana a, b, dan c adalah koefisien-koefisien dari persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 dan D adalah diskriminan. Rumus ini digunakan untuk menentukan jumlah akar-akar dari persamaan kuadratik tersebut.
- Jika D > 0, maka persamaan kuadratik memiliki dua akar berbeda (real)
- Jika D = 0, maka persamaan kuadratik memiliki satu akar ganda (real)
- Jika D < 0, maka persamaan kuadratik memiliki dua akar imajiner konjugat
Dalam matematika, rumus ini sangat penting karena memungkinkan kita untuk menentukan jenis dan jumlah solusi dari persamaan kuadratik, yang merupakan salah satu topik dasar dalam aljabar.
Bila ada soal yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum bisa diselesaikan menggunakan persamaan ini.
Sumbu simetri
Sumbu simetri dari sebuah fungsi kuadrat adalah garis lurus yang membagi grafik fungsi tersebut menjadi dua bagian yang simetris. Sumbu simetri ini selalu melewati titik tengah (vertex) dari grafik fungsi kuadrat.
Untuk fungsi kuadrat umum y = ax² + bx + c, sumbu simetri dapat dihitung dengan rumus . Jadi, sumbu simetri dari fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah garis lurus yang melewati titik (-b / (2a), c).
Sumbu simetri digunakan untuk menjawab soal yang ada kaitannya dengan mencari nilai satuan, seperti; panjang, lebar, waktu dan lain-lain.
Soal 1
Tinggi h meter dari sebuah peluru yang ditembakkan vertikal keatas setelah t detik dinyatakan dengan rumus h = 42t – 3t². Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai?
Jawab:
h = 42t – 3t²
a = -3
b = 42
c = 0
a). Mencari lama waktu
b). Tinggi maksimum
.png)
Soal 2
Jika keliling persegi panjang sama dengan 80 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut serta panjang dan lebarnya.
Jawab:
Misalkan panjang dan lebar persegi panjang adalah x dan y, maka kita punya:
Keliling persegi panjang = 2x + 2y = 80 cm
Dari sini, kita dapat menyelesaikan untuk salah satu variabel dalam hal yang lain:
y = 40 - x
Luas persegi panjang adalah:
L = xy
Substitusikan y dalam hal x untuk mendapatkan luas dalam satu variabel:
L = x(40 - x) = 40x - x²
Ini adalah persamaan kuadratik dengan a = -1, b = 40, dan c = 0. Untuk menentukan luas maksimum, kita dapat menggunakan rumus diskriminan:
D = b² - 4ac
D = 40² - 4(-1)(0)
D = 1600
Karena diskriminan positif, maka persamaan kuadratik memiliki dua akar real berbeda. Untuk menentukan nilai maksimum L, kita dapat mencari titik tengah dari kedua akar tersebut:
.png "fungsi kuadrat")
Karena ini adalah nilai tengah dari kedua akar, maka luas akan maksimum ketika x = 20. Substitusikan nilai x ke dalam persamaan L = 40x - x² untuk mendapatkan luas maksimum:
L = 40(20) - 20²
= 400
Jadi, luas maksimum persegi panjang adalah 400 cm². Panjang dan lebar persegi panjang adalah 20 cm dan 40 cm (atau sebaliknya, karena keduanya menghasilkan luas yang sama).
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:
- Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
- Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
- Menentukan sumbu simetri x (garis tengah) = -b/2a
- Menentukan titik puncak (
,
) atau hitung nilai puncak y menggunakan substutusi/ mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 kedalam persamaan f(x).
Contoh soal
Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y = x² + 4x
Jawab:
a). Tentukan titik potong dengan sumbu x (nilai y atau f(x) sama dengan 0).
y = x² + 4x
0 = x² + 4x
x (x + 4) = 0
x₁ = 0 x₂ = -4
Titik potongnya x₁, x₂ disumbu x = (0,-4)
b). Tentukan titik potong dengan sumbu y (nilai x = 0)
y = x² + 4x
y = 0² + 4.0
y = 0
Titik potongnya (0,0)
c). Menentukan sumbu simetri
y = x² + 4x
a = 1
b = 4
.png)
d). Menetukan titik puncak
,
atau hitung nilai puncak y menggunakan substitusi/ mengganti nilai x yang diperoleh pada perhitungan nomor 3 kedalam persamaan f(x).
x = -2
y = x² + 4x
y = (-2)² + 4(-2)
y = 4 + (-8)
y = -4
Titik puncak = (x,y) = (-2,-4)
Data jawabannya
Persamaan y = x² + 4x
- Memiliki nilai a > 0 maka grafiknya terbuka keatas
- Memiliki nilai D = b² - 4ac = 16, maka D > 0 artinya persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda. Artinya grafik akan memotong sumbu x pada dua titik.
- Titik potongnya x₁, x₂ disumbu x = (0,-4)
- Titik potong dengan sumbu y, yaitu di y = 0
- Sumbu simetri x = -2
- Titik puncak = (-2,-4)
