Relasi dan Fungsi : Definisi dan Cara Menyatakannya

Relasi dan fungsi mulai diperkenalkan di Kelas 8, dan banyak persoalan yang bisa diselesaikan melalui relasi dan fungsi. Contohnya dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemukan hubungan antara dua himpunan yang memiliki pola dan ciri tertentu. Nah, pola itu dalam matematika disebut relasi dan fungsi.

Sebelum pembahasan lebih jauh mengenai relasi dan fungsi, baiknya kita mengerti dulu beberapa istilah penting yang akan digunakan pada pembahasan ini. Istilah itu adalah; doman, kodomain dan range/ bayangan.

• Domain merupakan seluruh himpunan daerah asal, dan biasanya terletak disebelah kiri, pada diagram kartesius berada pada kordinat sumbu x.
• Kodomain merupakan himpunan daerah hasil, atau tempat hasil dari relasi/ fungsi ditemukan. Pada diagram kartesius kodomain berada pada kordinat sumbu y
• Range merupakan hasil dari suatu relasi dan fungsi.

Agar lebih memahami istilah tersebut, bisa dilihat dari contoh diagram panah dibawah ini.

Dari diagram panah tersebut domainnya adalah {1,2,3,4}, begitupun dengan kodomain {1,2,3,4}, sedangkan rangenya (kodomain yang terkena panah) adalah {2,3,4}.

Definisi Relasi

Relasi adalah hubungan antara dua objek atau lebih, atau bahkan tidak memiliki hubungan. Jadi, bisa dikatakan dalam relasi tidak ada aturan khusus untuk memasangkan setiap anggota himpunan daerah asal (domain) ke daerah kawan pada relasi (kodomain). Aturannya hanya terikat atas pernyataan relasi tersebut.

Mari kita fahami mengenai relasi melalui contoh berikut ini.

Diketahui dua buah himpunan A = {1,3,5,7} dan B = {3,4,5,6,7,8} hubungan dari himpunan A ke B adalah “lebih kecil dari”. Nyatakan relasi tersebut dalam: Diagram panah, Hinpunan pasangan berurutan dan Koordinat kartesius.

Diagram Panah

Diagram panah atau disebut juga diagram relasi merupakan suatu cara untuk menyatakan relasi antara dua atau lebih himpunan dengan menggunakan panah. Diagram ini dapat membantu kita memvisualisasikan hubungan antara elemen-elemen dalam suatu relasi.

Bentuk relasi dari contoh diatas bila divisualisasikan seperti diagram dibawah ini.

Himpunan Pasangan Berurutan

Untuk menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan, kita dapat menggunakan notasi himpunan atau notasi grafik. Cara penulisannya himpunan domain ditulis pertama, sedangkan anggota kodomain menjadi pasangannya (x,y).

Agar lebih paham, bisa kita menyatakan contoh relasi diatas menggunakan himpunan pasangan berurutan; R = {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(5,6),(5,7),(5,8),(7,8)}

Diagram Kartesius

Menyatakan relasi dengan diagram kartesius dengan cara menggambarkan setiap elemen dalam himpunan asal (domain) pada sumbu x dan setiap elemen dalam himpunan tujuan (kodomain) pada sumbu y. 

Kemudian, untuk setiap pasangan berurutan dalam himpunan pasangan berurutan bisa ditandai melalui titik pada diagram kartesius yang mewakili elemen asal dan elemen tujuan tersebut dengan garis penghubung antara titik-titik tersebut. Bila dinyatakan soal diatas menggunakan diagram kartesius, seperti berikut ini.

Definisi Fungsi

Fungsi atau disebut juga pemetaan adalah salah satu jenis relasi yang memiliki suatu syarat. Syaratnya adalah setiap anggota domain (daerah asal) memiliki satu pasangan kodomain (daerah hasil). 

Sama seperti relasi, fungsi juga bisa dinyatakan dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan diagram kartesius. Contoh dibawah ini, bagaimana menggambarkan perbedaan fungsi dan relasi dengan menggunakan diagram panah.

Bila dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

• {(1,2),(2,5),(3,1),(4,3)} 🠊 bukan fungsi
• {(1,2),(2,1),(2,4),(3,2),(4,5),(5,3)} 🠊 bukan fungsi
• {(1,3),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} 🠊 fungsi

Selanjutnya mari kita gambarkan perbedaan fungsi dan relasi diatas dalam diagram kartesius.

Dari contoh diatas bisa disimpulkan, semua yang bukan fungsi merupakan relasi.

Menghitung Nilai dari Sebuah Fungsi

1. Notasi Fungsi

Fungsi dinotasikan  menggunakan huruf kecil seperti f, g, h, i, j dan sebagainya. Pada fungsi g yang memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan g(x). Contohnya ada fungsi f yang memetakan A ke B dengan aturan f : x → 2x + 2. Dari notasi fungsi itu, x merupakan anggota domain. fungsi x → 2x + 2 berarit fungsi f memetakan x ke 2x+2. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 2x + 2. Sobat dapat menotasikannya dengan f(x) = 2x +2. Kesimpulannya.

Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f maka rumus fungsi f adalah f(x) = ax +b

2. Menghitung nilai dari Sebuah Fungsi

Cara menghitung nilai dari sebuah fungsi terbilang cukup sederhana. Kita hanya perlu mengikuti aturan dari fungsi tersebut. Mari kita simak contoh berikut.

Diketahui fungsi f : x → 2x – 2 dengan x anggota bilangan bulat. Coba tentukan nilai dari

1. f(3)
2. f(4)
3. bayangan (-3) oleh f
4. nilai f untuk x = -10
5. nilai a jika f(a) = 14

Jawaban:

Fungsi f : x → 2x – 2 dapat dinyatakan dengan f(x) = 2x – 2

Soal 1.

f(x) = 2x – 2  

f(1) = 2(3) – 2 = 4

Soal 2.

f(x) = 2x – 2

f (4) = 2(4) – 2 = 6

Soal 3.

f(x) = 2x – 2

f(-3) = 2(-3) – 2 = -8

Soal 4.

f(x) = 2x – 2

f(10) = 2(10) -2 = 18

Soal 5.

f(a) = 2a – 2

14 = 2a -2

2a = 16

a = 8

3. Menentukan Rumus sebuah fungsi

Sebuah fungsi bisa ditemukan rumusnya, jika ada nilai atau data yang diketehui. Lalu dengan menggunakan aljabar bisa dengan mudah menemukan rumus dari fungsi tersebut. Agar lebih jelas, coba kita simak contoh berikut.

Fungsi g yang berlaku pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus g(x) = ax + b dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika g(-2) = -4 dan g(1) = 5. Coba sobat tentukan nalai dari:

1. nilai dari a dan b
2. rumus fungsi
3. g (-3)

Jawaban

Soal 1.

Untuk mencari nila a dan b kita buat persamaan dulu dari himpunan pasangan berurutan yang diketahui.

g(-2) = -4 → -4 = -2a + b → b = 2a – 4 …(1)

g(1) = 5    →  5 = a + b …(2)

kita substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2

5 = a+b

5 = a+2a-4

5 = 3a-4

9 = 3a

a = 3

b = 2a-4

b = 2(3)-4

b = 2

Jadi nila a=3 dan b=4

Soal 2.

rumus fungsinya g(x) = 3a + 2

Soal 3.

g(x) = 3a + 2

g(-3) = 3 (-3) + 2

g (-3) = -7

Cukup sampai disini ya pembahasan kita kali ini mengenai relasi dan fungsi. Harapannya apa yang disajikan bisa mudah dimengerti. Selamat belajar.. 👍